Anexa din 29 august 2014

Anexa nr. 1

CALENDARUL

examenului de bacalaureat național – 2015

Sesiunea iunie-iulie 2015

25 – 29 mai 2015

Înscrierea candidaților la prima sesiune de examen 29 mai 2015

Încheierea cursurilor pentru clasa a XII-a/a XIII-a

8 - 10 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba română – proba A

10 - 12 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare

orală în limba maternă – proba B

15 – 19 iunie 2015

Evaluarea competențelor digitale – proba D

22 - 26 iunie 2015

Evaluarea competențelor lingvistice într-o limbă de circulație

internațională – proba C

29 iunie 2015

Limba și literatura română – proba E)a) – probă scrisă

30 iunie 2015

Limba și literatura maternă – proba E)b) – probă scrisă 1 iulie 2015

Proba obligatorie a profilului – proba E)c) – probă scrisă

3 iulie 2015

Proba la alegere a profilului și specializării – proba E)d) –

probă scrisă

6 iulie 2015

Afișarea rezultatelor (până la ora 12:00)

6 iulie 2015

Depunerea contestațiilor (orele 12:00 – 16:00)

7 - 9 iulie 2015

Rezolvarea contestațiilor

10 iulie 2015

Afișarea rezultatelor finale

Sesiunea august-septembrie 2015

13 – 17 iulie 2015

Înscrierea candidaților la a doua sesiune de examen

17-18 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba română – proba A

17-18 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice de comunicare orală în

limba maternă – proba B

18 -19 august 2015

Evaluarea competențelor lingvistice într-o limbă de circulație

internațională – proba C

20 - 21 august 2015

Evaluarea competențelor digitale – proba D

24 august 2015

Limba și literatura română – proba E)a) – proba scrisă

25 august 2015

Limba și literatura maternă – proba E)b) – probă scrisă

26 august 2015

Proba obligatorie a profilului – proba E)c) – probă scrisă

28 august 2015

Proba la alegere a profilului și specializării – proba E)d) –

probă scrisă

31 august 2015

Afișarea rezultatelor (până la ora 12:00) și depunerea

contestațiilor (orele 12:00 – 16:00)

1-2 septembrie 2015

Rezolvarea contestațiilor

3 septembrie 2015

Afișarea rezultatelor finale

Notă: La solicitarea comisiilor de bacalaureat județene/a municipiului București sau din proprie inițiativă, Comisia Națională de Bacalaureat poate aproba prelungirea perioadelor de susținere a probelor de evaluare a competențelor digitale sau lingvistice

Anexa nr. 2

CENTRUL NA'IONAL

DE EVALUARE 'I EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA LIMBA ȘI LITERATURA ITALIANĂ MATERNĂ

BACALAUREAT 2015

PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA LIMBA ȘI LITERATURA ITALIANĂ MATERNĂ

I.

STATUTUL DISCIPLINEI

Limba și literatura italiană are, în cadrul examenului de Bacalaureat pentru elevii claselor a XII-a, statut de disciplină obligatorie pentru absolvenții claselor a XII-a cu predare în limba italiană maternă.

Curriculumul de

Limba și literatura italiană maternă

destinat studierii acestei discipline de către elevii aparținând etniei italiene care învață în școli cu predare în limba română contribuie

la

formarea

și

dezvoltarea

progresivă

la

elevi

a

competențelor

esențiale ale comunicării orale și scrise, permite cunoașterea de către aceștia a limbii materne și a patrimoniului spiritual și cultural al etniei, oferind o punte spre interculturalitate, spre o bună cunoaștere reciprocă între populația majoritară și minoritățile naționale din spațiul geografic românesc.

Examenul de Bacalaureat pentru clasa a XII-a la limba și literatura italiană maternă vizează evaluarea competențelor elevilor aparținând etniei italiene de receptare a mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse și de exprimare scrisă / de utilizare corectă și adecvată a limbii materne italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite contexte de realizare, cu scopuri diverse.

Deoarece competențele sunt diferite ca ansambluri de cunoștințe, deprinderi și atitudini formate în clasele a IX-a – a XII-a, subiectele pentru examenul de Bacalaureat vor evalua atât competențele specifice cât și conținuturile asociate acestora.

Prin evaluarea națională la limba și literatura italiană maternă, în evaluarea unităților de conținut care privesc domeniul limba italiană maternă (Elementele de construcție a comunicării), se are în vedere viziunea comunicativ – pragmatică, abordarea funcțională și aplicativă a elementelor de construcție a comunicării, cu accent pe identificarea rolului acestora în construirea mesajelor și pe utilizarea lor corectă și adecvată în propria exprimare scrisă. Sarcinile de lucru vizează exerciții de tip analitic (de recunoaștere, de grupare, de motivare, de descriere, de diferențiere) și de tip sintetic (de modificare, de completare, de exemplificare, de construcție), de subliniere a valorilor stilistice și de evidențiere a aspectelor ortografice și de punctuație, în situațiile care impun o asemenea abordare.

Structura testului pentru proba scrisă este formată din 3 subiecte, fiecare având 30 de puncte. Subiectele conțin itemi obiectivi, semiobiectivi și subiectivi care au ca material suport texte literare și nonliterare.

În evaluarea unităților de conținut ale domeniului lectură, sarcinile de lucru implică cerințe, care privesc înțelegerea unui text dat, literar sau nonliterar (identificarea ideilor principale, a unor trăsături generale și particulare ale textului și exprimarea unui punct de vedere asupra acestora etc.), precum și redactarea de către elev a unor compuneri vizând scrierea despre un text literar sau nonliterar (rezumat, caracterizare de personaj, comentarea sumară a unor

secvențe, identificarea ideilor principale, exprimarea unui punct de vedere privind ideile sau structurarea textului etc.).

De asemenea, sarcinile de lucru vor avea în vedere evaluarea competențelor de redactare a unor texte argumentative (exprimarea argumentată a unui punct de vedere privind textul studiat la prima vedere, motivarea apartenenței la un gen literar), reflexive și imaginative (compuneri care presupun exprimarea propriilor sentimente, evidențierea trăsăturilor unui obiect într-o descriere / într-un portret, scurte narațiuni, continuarea logică a unor dialoguri etc.).

II.

COMPETENȚE GENERALE, COMPETENȚE SPECIFICE ȘI CONȚINUTURI ASOCIATE

Tabelul de mai jos cuprinde competențele generale care vizează receptarea și producerea mesajelor scrise din programa școlară pentru clasa a XII-a

( Receptarea mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse; Utilizarea corectă și adecvată a limbii italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite contexte de realizare, cu scopuri diverse) , detalierile lor în competențele specifice și conținuturile asociate, din programele școlare pentru clasele a IX-a – a XII-a.

1.

Receptarea mesajului scris, din texte literare și nonliterare, în scopuri diverse Competențe specifice

Conținuturi asociate

1.1

dovedirea înțelegerii unui

text literar sau nonliterar, pornind de la cerințe date

1.2

sesizarea corectitudinii și a valorii expresive a categoriilor

-

idei principale, idei secundare; ordinea logică și cronologică a

ideilor/ a întâmplărilor dintr-un text;

-

moduri de expunere (narațiune, descriere, dialog, monolog);

-

subiectul operei literare;

-

procedee de expresivitate artistică în textele studiate (figuri de stil: personificarea, epitetul, comparația, repetiția, enumerația, antiteză, ingambament, metafora, aliterația);

-

sensul propriu și sensul figurat al unor cuvinte într-un context dat;

-

trăsăturile specifice genului epic și liric, în opere literare studiate sau în texte la prima vedere;

-

texte literare (aparținând diverselor genuri și specii studiate); texte nonliterare (texte publicitare, articolul de ziar/ de revistă, anunțul, știrea);

-

reperarea unor informații esențiale dintr-un text;

-

completarea unui text lacunar;

-

recunoașterea secvențelor narative și dialogate dintr-un text;

-

recunoașterea de cuvinte și expresii noi în text;

-

utilizarea unui lexic diversificat recurgând la categoriile semantice studiate.

Comunicarea scrisă

Organizarea textului scris. Părțile componente ale unei compuneri: introducerea, cuprinsul, încheierea. Organizarea unui text propriu

morfosintactice, a mijloacelor de îmbogățire a vocabularului și a categoriilor semantice studiate, a ortografiei și punctuației

(rezumat, caracterizare de personaj).

Ortografia și punctuația. Scrierea corectă a cuvintelor. Consoanele duble, diftongii, triftongii, apostroful, trunchierea.

Contexte de realizare:

a)

Scrierea funcțională: scrisoarea, invitația. Analiza. Conspectul. Eseul structurat.

b)

Scrierea imaginativă: compuneri libere după un plan dat. Eseul liber.

Scrierea despre textul literar sau nonliterar. Povestirea scrisă a unor fragmente din text. Comentarea unor secvențe. Semnificația titlului. Personajul literar.

Fonetică și ortografie :

Aspecte fonetice specifice limbii italiene: eliziunea și apostroful, accentul cuvintelor.

Lexic :

Mijloace de îmbogățire a lexicului: derivarea cu sufixe și prefixe; familii de cuvinte; expresii idiomatice; cuvinte compuse, arhaisme, neologisme;

Sinonime, antonime, omonime, cuvinte polisemantice; Sensul denotativ și sensul conotativ al cuvintelor.

Gramatică

■

Articolul : hotărât, nehotărât și partitiv; folosirea articolului cu numele proprii de persoane și geografice;

■

Substantivul : formarea femininului; formarea pluralului; substantive defective; substantive cu două forme de plural; substantive colective; substantive invariabile; substantive defective de singular / plural; substantive compuse; substantive derivate cu un sufix diminutival, peiorativ, etc;

■

Adjectivul : formarea femininului adjectivelor calificative; poziția adjectivului calificativ; adjectivul demonstrativ; adjectivul posesiv și omiterea articolului în cazul posesivelor care însoțesc substantive indicând înrudirea; adjectivul nehotărât; gradele de comparație - forme sintetice;

■

Numeralul :

cardinal,

ordinal

(formarea);

folosirea

numeralului ordinal (exprimarea secolelor); distributiv; colectiv, multiplicativ;

■

Pronumele

personal în acuzativ cu și fără prepoziție; pronumele in dativ cu și fără prepoziție; pronumele relativ

; locul promumelor combinate cu în grupurile verbale, propoziția asertivă și imperativă; pronumele

de

politețe;

pronumele

demonstrativ;

particulele pronominale

ci, ne ; pronumele posesiv; pronumele interogative; pronumele nehotărâte;

■

Verbul :

indicativul

prezent

al

verbelor

regulate

și

neregulate; perfectul compus al verbelor regulate și neregulate; imperfectul verbelor regulate și neregulate; perfectul simplu al verbelor regulate și neregulate; viitorul simplu și viitorul anterior; condiționalul

1.3

identificarea valorilor etice și culturale într-un text, cu exprimarea impresiilor și preferințelor

prezent și trecut; folosirea condiționalului; modul imperativul (tu, noi,

voi);

folosirea

imperativului

cu

pronumele

de

politețe; conjunctivul prezent și trecut; conjunctivul imperfect și

trapassato ; concordanța timpurilor la modul indicativ; concordanța timpurilor la modul conjunctiv; fraza ipotetică; verbele frazeologice ( cominciare, iniziare, finire, smettere ); verbe tranzitive și intranzitive (alegerea auxiliarului); forma activă, pasivă și reflexivă; verbele modale ( dovere, potere, volere ); verbele impersonale; verbe defective;

■

Adverbul : formarea adverbelor din adjective cu sufixul ”–mente”; adverbele de loc și de timp; adverbe de îndoială; adverbe de mod; adverbe interogative; adverbe de evaluare; locuțiuni adverbiale; particulele

adverbiale

ci,

vi,

ne ;

gradele

adverbului;

poziția adverbului;

■

Conjuncția : conjuncțiile coordonatoare; conjuncția subordonatoare; locuțiuni conjuncționale;

■

Prepoziția : folosirea prepozițiilor; prepoziții articulate; locuțiuni prepoziționale;

■

Interjecția :

interjecții

proprii

(care

exprimă

uimirea,

bucuria, amenințarea, îndemnul, regretul, indignarea):

ah, eh, ih, oh, ahi, beh, uffa, ahime ; interjecții improprii

bravo, coraggio, avanti, via, su, forza, guai, peccato ; locuțiuni;

■

Sintaxa:

Propoziția simplă; Părți principale de propoziție (Subiectul; Predicatul); Părți secundare de propoziție (Atributul; Complementul direct și indirect; Complemente circumstanțiale: de loc, de timp, de mod, de cauză, de scop, concesie, opoziție);

■

Sintaxa frazei : Propoziția simplă; Propoziția condițională și fraza ipotetică; Concordanța în indicativ și conjunctiv.

-

elemente etice și culturale în texte literare și nonliterare și exprimarea propriei atitudini față de acestea.

2.

Utilizarea corectă și adecvată a limbii italiene în producerea de mesaje scrise, în diferite situații de comunicare

Competențe specifice

Conținuturi asociate

2.1

redactarea diverselor texte, cu scopuri și destinații diverse, adaptându-le la situația de comunicare concretă

-

redactarea în scris de texte funcționale

pe subiecte din viața cotidiană, mesaje, scrisori personale ;

-

redactarea de mesaje pe o anumită temă, urmărind un plan dat:

pagină de jurnal personal, povestire, descriere ;

-

realizarea de texte, ținând seama de părțile componente ale unei compuneri,

respectând

categoriile

semantice

și

regulile gramaticale studiante, folosind corect semnele ortografice și de punctuație;

-

redarea în scris a unor informații receptate prin lectură;

2.2

utilizarea în redactarea unui text propriu a cunoștințelor de lexic și de morfosintaxă, folosind adecvat semnele ortografice și de punctuație

-

cartea – obiect cultural: teoria literară, destinatarul mesajului, structura textului narativ;

-

descrierea

obiectivă

și

subiectivă,

dialogul,

personajul (caracterizarea sumară – portret fizic și portret moral);

-

structura prozodică (rimă, ritm, vers, strofă, vers liber);

-

figurile

de

stil:

personificarea,

comparația,

enumerarea, repetiția, epitetul, antiteza, metafora;

-

sensul de bază, sensul auxiliar; sensul figurat;

-

genuri și specii (genurile epic, liric și dramatic);

-

textul: texte literare aparținând diverselor genuri și specii și textul nonliterar;

-

redactare de mesaje;

-

completare de texte lacunare;

-

redactare de scrisori în registru familiar;

-

construirea unor scurte povestiri;

-

folosirea sinonimelor în scopul evitării repetițiilor;

-

diferențierea semnificației sinonimelor în contexte diferite;

-

folosirea corectă a părților de vorbire flexibile și neflexibile;

-

folosirea corectă a formelor verbale în raport cu cronologia faptelor relatate;

-

folosirea conectorilor adecvați;

-

folosirea unor construcții verbale specifice pentru a spori expresivitatea comunicării;

-

rezumare, substituire, transformare, alegere multiplă;

-

identificarea structurii textului narativ;

-

sesizarea schimbării semnificației unor cuvinte în funcție de context;

-

stabilirea relațiilor de sinonimie, antonimie și polisemie într-un text dat;

-

identificarea secvențelor într-un text narativ;

-

structurarea unui text în secvențe distincte în funcție de tipul acestuia (rezumat, caracterizare de personaj, scrisoare etc.).

-

elemente de lexic studiate în clasele a IX-a – a XII-a; mijloace de îmbogățire a lexicului;

-

folosirea corectă a semnelor de punctuație la nivelul propoziției și al frazei;

-

aplicarea adecvată a cunoștințelor de morfologie în exprimarea scrisă corectă: articolul, substantivul, adjectivul, numeralul, pronumele, verbul, adverbul, conjuncția, prepoziția, interjecția, sintaxa propoziției și a frazei.

Notă:

Se recomandă următoarele texte:

Testo poetico

“Tanto gentile e tanto onesta pare”

Canto V dell’Inferno, La Divina Commedia “Solo e pensoso”

“Erano i capei d’oro a l’aura sparso” “Trionfo di Bacco e Arianna”

“I mi trovai, fanciulle, un bel mattino” da Le Rime “L’apparizione di Angelica”, Canto I di Orlando innamorato

“Orlando in cerca di Angelica”, di Orlando Furioso

“Ermina fra i pastori”, Canto VII di Gerusalemme liberata

“Alla sera”

“Il sabato del villaggio” “La pioggia nel pineto” “La mia sera”

“L’amica di nonna Speranza” “San Martino del Carso”

“A mia moglie”

“Meriggiare pallido e assorto” “Felicità raggiunta”

“Non chiederci la parola” “Ed è subito sera”

“Alle fronde dei salici”

“Verrà la morte e avrà i tuoi occhi”

Testo narrativo (racconto)

“Federigo degli Alberighi” (V giornata, IX

novella, Il Decameron)

“I promessi sposi” (frammenti) “La lupa”

“Il treno ha fischiato” “Agostino” (frammenti) “Il colombre” da Racconti

Dante Alighieri Dante Alighieri Francesco Petrarca Francesco Petrarca Lorenzo de’ Medici Angelo Poliziano Matteo Maria Boiardo

Ludovico Ariosto Torquarto Tasso

Ugo Foscolo Giacomo Leopardi Giovanni Pascoli Gabriele D’Annunzio Guido Gozzano Giuseppe Ungaretti Umberto Saba Eugenio Montale Eugenio Montale Eugenio Montale Salvatore Quasimodo Salvatore Quasimodo Cesare Pavese Giovanni Boccaccio

Alessandro Manzoni Giovanni Verga Luigi Pirandello Alberto Moravia Dino Buzzati

Testo drammatico

“La Locandiera”(frammento)

Carlo Goldoni Trattato

“Creazione dell’uomo” (De dignitae hominis)

Pico della Mirandola

Teme recomandate:



Universul personal: gusturi și preferințe, activități școlare și în afara școlii, familia, prietenia, sentimente și emoții, sănătatea, jocul, timpul liber, vacanța;



Problemele adolescenților: integrarea în grup și acceptarea diferențelor; responsabilitate și implicare socială;



Mediul înconjurător: viața la țară și oraș, natura (plante, animale, locuri și peisaje), ecologie;



Progres și schimbare: ocupații și profesiuni de viitor, invenții și descoperiri;



Societatea informațională și mijloace de comunicare moderne: publicitate și anunțuri în presă, radioul și televiziunea, internetul;



Relații interpersonale: relații între tineri, corespondență și schimburi intre scoli, călătorii,



Oameni și locuri: aspecte ale vieții citadine, obiective turistice și culturale, personalități importante;



Obiceiuri și tradiții: mâncăruri specifice sărbătorilor tradiționale ,

activități specifice sărbătorilor tradiționale (reluare și îmbogățire);



Incursiuni în lumea artei: personaje îndrăgite din cărți, filme, muzica italiană;



Elemente culturale ale spațiului italian: Referințe istorice. Începuturile literaturii italiene, Evul Mediu, Începuturile Renașterii – principalele etape și răspândirea modelului renascentist (secolul al XII – lea, al XIII – lea, al XIV – lea, al XV – lea);



Elemente culturale ale spațiului italian: Referințe istorice. Renașterea. Umanismul. Reforma și Controreforma. Clasicismul. Barocul.

Commedia dell’arte.

Începuturile Iluminismului. (secolul al XV – lea, al XVI – lea, începuturile secolului al XVII – lea);



Elemente culturale ale spațiului italian: Romantismul. Verismul. Decadentismul;



Repere moderne ale spațiului italian: Crepuscularismul. Futurismul. Ermetismul. Neorealismul.

Modernismul. Postmodernismul.

CENTRUL NAȚIONAL DE EVALUARE ȘI EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

BACALAUREAT 2015

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATICĂ

Examenul național de bacalaureat reprezintă modalitatea de evaluare externă sumativă a competențelor dobândite pe parcursul învățământului liceal.

Programa de examen este realizată în conformitate cu prevederile programelor școlare în vigoare. Subiectele pentru examenul național de bacalaureat evaluează competențele formate/dezvoltate pe parcursul învățământului liceal și se elaborează în baza prezentei programe.

Se

recomandă,

din

punct

de

vedere

didactic,

abordarea

conținuturilor

din

perspectiva formării/dezvoltării competențelor specifice care le sunt asociate de programă. Acest lucru presupune centrarea demersului didactic asupra acțiunilor care trebuie realizate pentru a forma/dezvolta la elevi competențele prevăzute de programa școlară și pentru ca aceștia să demonstreze, în cadrul evaluărilor, însușirea acestora.

În cadrul examenului național de bacalaureat

Matematica

are statut de disciplină obligatorie în funcție de filieră, profil și specializare. Astfel, programele de examen se diferențiază, în funcție de filiera, profilul și specializarea absolvite, în:



programa

M_mate-info

pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică și pentru filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică;



programa

M_șt-nat

pentru filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii;



programa

M_tehnologic

pentru filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse naturale și protecția mediului, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale;



programa

M_pedagogic

pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător- educatoare.

PROGRAMA

M_mate-info

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

}

)

C

,

CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea , în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2.

Utilizarea

proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4.

Deducerea

unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5.

Redactarea

rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6.

Transpunerea

unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și

interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică



Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale



Propoziție, predicat, cuantificatori



Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd



Inducția matematică

1.

Recunoașterea

unor corespondențe care sunt funcții, șiruri, progresii

2.

Utilizarea

unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3.

Descrierea

unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4.

Caracterizarea

unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5.

Analizarea

unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe

prin raționament de tip inductiv

6.

Transpunerea

unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe

Șiruri



Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone



Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor

n

termeni ai unei progresii



Condiția ca

n

numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru

n

�

3

1.

Identificarea

valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.

Caracterizarea

egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3.

Operarea

cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4.

Caracterizarea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5.

Deducerea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6.

Analizarea

unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

Funcții; lecturi grafice



Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma

x



m

sau

y



m

, cu

m





Funcția:

definiție,

exemple,

exemple

de

corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții



Funcții

numerice



F





f

:

D

➔

D

;

reprezentarea geometrică a graficului: intersecția

cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuații

și

inecuații

de

forma

f



x 



g



x  ,

 �

,



,



,





;

proprietăți

ale

funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate, simetria graficului față de drepte de forma

x



m

,

m



, periodicitate



Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1.

Recunoașterea

funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2.

Utilizarea

unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor

3.

Descrierea

unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4.

Exprimarea

legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5.

Interpretarea

graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6.

Modelarea

unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I



Definiție;

reprezentarea

grafică

a

func ției

f

:

,

f



x 



ax



b

,

unde

a , b



,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O



Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul

monotoniei prin semnul diferenței

f



x 1





f



x 2



(sau

prin

studierea

semnului

raportului

f



x 1





f



x 2



,

x

,

x



,

x



x

)

x 1



x 2

1

2

1

2



Inecuații de forma

ax



b

�

O (  ,

 ,  ) studiate pe sau pe intervale de numere reale



Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de

tipul



ax



by



c

,

a , b , c ,

m ,

n ,

p

numere reale

� mx



ny



p





Sisteme de inecuații de gradul I

1.

Diferențierea , prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2.

Completarea

unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3.

Aplicarea

unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.

Exprimarea

proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5.

Utilizarea

relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6.

Utilizarea

funcțiilor în rezolvarea unor probleme și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea



Reprezentarea

grafică

a

funcției

f

:

,

f



x





ax

2



bx



c

, cu

a

,

b

,

c



și

a



O

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O , simetria față de drepte de forma

x



m

,

cu

m 



Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

 x



y



S

, cu

S

,

p



�

xy



p



1.

Recunoașterea

corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2.

Determinarea

unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3.

Utilizarea

unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4.

Exprimarea

prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5.

Utilizarea

unor metode algebrice sau grafice

pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea



Monotonie; studiul monotoniei prin semnul

diferenței

f



x 1





f



x 2



sau prin rata creșterii

/descreșterii:

f



x

1





f



x

2



,

x

,

x



,

x



x

,

x 1



x 2

1

2

1

2

punct de extrem, vârful parabolei



Poziționarea parabolei față de axa

Ox

, semnul

funcției, inecuații de forma

ax

2



bx



c

�

O (  ,  ,

 ) ,

a , b , c



O

,

studiate pe

sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică:

➔

➔

:;

,

a

6. Interpretarea

informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni de parabolă pe axa

Oy

)



Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma





mx



n



y

,



�

ax

2



bx



c



y



a , b , c ,

m ,

n 

1.

Identificarea

unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.

Transpunerea

unor operații cu vectori în contexte geometrice date

3.

Utilizarea

operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4.

Utilizarea

limbajului calculului vectorial pentru a descrie configurații geometrice

5.

Identificarea

condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6.

Aplicarea

calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan



Segment orientat, vectori, vectori coliniari



Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1.

Descrierea

sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2.

Caracterizarea

sintetică sau/și vectorială a unei configurații geometrice date

3.

Alegerea

metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurență sau paralelism

4.

Trecerea

de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) într-o configurație geometrică dată

5.

Interpretarea

coliniarității, concurenței sau paralelismului în relație cu proprietățile sintetice sau vectoriale ale unor configurații geometrice

6.

Analizarea

comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană



Vectorul de poziție a unui punct



Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)



Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)



Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1.

Identificarea

legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2.

Calcularea

unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice

3.

Determinarea

măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4.

Caracterizarea

unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5.

Determinarea

unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6.

Optimizarea

calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie



Cercul trigonometric, definirea funcțiilor

trigonometrice: sin :  O, 2 



➔



 1,1 

,

cos :  O, 2





➔





1,1 

, tg :  O,





\







➔

,

�

2

�





ctg :

 O, 



➔



Definirea funcțiilor trigonometrice:

sin :

1,1  , tg :

,

cu

D









k



k



, ctg :

, cu

�

2

�





D



 k 

k





Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice:

sin



a



b



,

sin



a



b



,

cos



a



b



,

cos



a



b



, sin 2

a

, cos 2 a

, sin

a



sin

b

, sin

a



sin

b

, cos

a



cos b

,

cos

a



cos b

(transformarea sumei în produs)

➔

( -

1,1 ] , cos:

➔

(

-

\

D

➔

l

\

D

➔

}

1.

Identificarea

unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2.

Aplicarea

unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

3.

Prelucrarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia

4.

Analizarea

unor configurații geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5.

Aplicarea

unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii

6.

Modelarea

unor configurații geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană



Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic



Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare



Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

➔

+

➔

( O,

CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.

Determinarea

echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și rezolvarea de ecuații

4.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcție de contexte în vederea optimizării calculelor

5.

Alegerea

strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.

Determinarea

unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere



Numere reale : proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale



Radical de ordin

n

(

n



și

n



2 ) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor



Noțiunea

de

logaritm,

proprietăți

ale

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare



Mulțimea

. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real



Rezolvarea în a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate

1.

Trasarea

prin puncte a graficelor unor funcții

2.

Prelucrarea

informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3.

Utilizarea

de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și în rezolvarea de ecuații

4.

Exprimarea

în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5.

Interpretarea , pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6.

Utilizarea

echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice și trigonometrice

Funcții și ecuații



Funcția putere cu exponent natural:

f

:

D

,

f



x 



x n

,

n



,

n



2

și

funcția radical:

f

:

D

➔

,

f



x 



n

x ,

n



și

n



2 , unde

D





O,





pentru

n

par și

D



pentru

n

impar



Funcția exponențială:

f

:





,

f



x





a

x

,

a



 O,



 ,

a



1 și funcția logaritmică:

f

:

 O,





➔

,

f



x





log a

x

,

a



 O,



 ,

a



1



Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă



Funcții trigonometrice directe și inverse



Rezolvări

de

ecuații

folosind

proprietățile

funcțiilor:

1.

Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2.

Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice

3.

Ecuații trigonometrice:

sin

x



a

, cos

x



a

,

a





 1,1 

,

tg x



a

, ctg x



a

,

a



,

sin

f



x 



sin

g



x 

, cos

f



x 



cos

g



x 

,

tg

f



x 



tg

g



x 

, ctg

f



x 



ctg

g



x 

Notă:

Pentru toate tipurile de funcții Se vor Studia: interSecția cu axele de coordonate, ecuația

f



x





O

,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie,

bijectivitate,

inverSabilitate,

Semn,

convexitate.

1.

Diferențierea

problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2.

Identificarea

tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3.

Utilizarea

unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4.

Exprimarea , în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.

Interpretarea

unor situații-problemă având conținut practic cu ajutorul funcțiilor și a elementelor de combinatorică

6.

Alegerea

strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare



Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Permutări

-

numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu

n

elemente

-

numărul funcțiilor bijective

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Aranjamente

-

numărul submulțimilor ordonate cu câte

k

elemente fiecare,

k



n

, care se pot forma cu cele

n

elemente ale unei mulțimi finite

-

numărul funcțiilor injective

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Combinări - numărul submulțimilor cu câte

k

elemente, unde O



k



n

, ale unei mulțimi finite cu

n

elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu

n

elemente



Binomul lui Newton

1.

Recunoașterea

unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2.

Interpretarea

primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3.

Utilizarea

unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4.

Transpunerea

în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.

Analizarea

și

interpretarea

unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.

Corelarea

datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare



Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA



Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice



Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie



Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă:

Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de coSt al unui produS, amortizări de inveStiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget perSonal, buget familial.

1.

Descrierea

unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2.

Descrierea

analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3.

Utilizarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4.

Exprimarea

analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5.

Interpretarea

perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6.

Modelarea

unor

configurații

geometrice

analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie



Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan



Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte



Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii

n

::

(

n

)

CLASA a XI-a - 4 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.

Asocierea

unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.

Aplicarea

algoritmilor de calcul în situații practice

4.

Rezolvarea

unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici

5.

Stabilirea

unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.

Optimizarea

rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Permutări



Noțiunea de permutare, operații, proprietăți



Inversiuni, semnul unei permutări

Matrice



Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice



Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți



Determinant de ordin

n , proprietăți

Sisteme de ecuații liniare



Matrice inversabile din

,

4



Ecuații matriceale



Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice



Studiul compatibilității și rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouche, metoda Gauss



Aplicații: ecuația unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1.

Caracterizarea

unor șiruri și a unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.

Interpretarea

unor proprietăți ale șirurilor și ale altor funcții cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese

4.

Exprimarea

cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și/sau calitative ale unei funcții

5.

Studierea

unor funcții din punct de vedere

cantitativ și/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcții



Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile



și





Funcții reale de variabilă reală: funcția polinomială, funcția rațională, funcția putere, funcția radical, funcția logaritm, funcția exponențială, funcții trigonometrice directe și inverse



Limita unui șir utilizând vecinătăți, șiruri convergente



Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui

dat, proprietăți algebrice și de ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și/sau pentru identificarea unor proprietăți

6.

Explorarea

unor proprietăți cu caracter local și/sau global ale unor funcții utilizând reprezentarea grafică, continuitatea sau derivabilitatea

Note:

-

În introducerea noțiunilor de limită a unui șir într-un punct și de șir convergent nu Se vor introduce definițiile cu



și nici teorema de convergență cu



.

-

Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui .", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

Weierstrass. Exemple semnificative:

 a n



,

n



n

a



,



 1



1



n



(fără demonstrație), numărul

n

 

n





 







 n

e ; limita șirului



 1



u



1



,

u

➔

O ,

u



O ,



n

u

n



n

n



 n

pentru orice număr natural

n



Operații cu șiruri care au limită



Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale



Calculul limitelor pentru funcțiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcții:

O

,



, 

 , O  , 1 

,



O , O O

O





Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, oblice

Continuitate



Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, studiul continuității în puncte de pe dreapta reală pentru funcțiile studiate, operații cu funcții continue



Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale, studiul existenței soluțiilor unor ecuații în

Derivabilitate



Tangenta la o curbă, derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile, operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II- lea pentru funcțiile studiate



Funcții derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange și interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcții într-un punct



Rolul derivatei I în studiul funcțiilor: monotonia funcțiilor, puncte de extrem



Rolul derivatei a II-a în studiul funcțiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune



Regulile lui l Hospital

Reprezentarea grafică a funcțiilor



Reprezentarea grafică a funcțiilor



Rezolvarea grafică a ecuațiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcțiilor în determinarea numărului de soluții ale unei ecuații



Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)

n

p

p

CLASA a XII-a - 4 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

proprietăților operațiilor cu care este înzestrată o mulțime

2.

Evidențierea

asemănărilor și a deosebirilor dintre proprietățile unor operații definite pe mulțimi diferite și dintre calculul polinomial și cel cu numere

3.1.

Determinarea

și

verificarea

proprietăților structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2.

Folosirea

descompunerii în factori a polinomelor, în probleme de divizibilitate și în rezolvări de ecuații

4. Utilizarea

unor proprietăți ale operațiilor în calcule specifice unei structuri algebrice

5.1.

Utilizarea

unor proprietăți ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică

5.2.

Determinarea

unor polinoame, funcții polinomiale sau ecuații algebrice care verifică condiții date

6.1.

Transferarea , între structuri izomorfe, a datelor inițiale și a rezultatelor, pe baza proprietăților operațiilor

6.2.

Modelarea

unor situații practice, utilizând noțiunea de polinom sau de ecuație algebrică

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri



Lege de compoziție internă (operație algebrică), tabla operației, parte stabilă



Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo

n



Subgrup



Grup finit, tabla operației, ordinul unui element



Morfism, izomorfism de grupuri

Inele și corpuri



Inel, exemple: inele numerice ( ,

,

,

),

, inele de matrice, inele de funcții reale



Corp, exemple: corpuri numerice (

,

,

),

,

p

prim



Morfisme de inele și de corpuri

Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (

,

,

,

,

p

prim )



Forma algebrică a unui polinom, funcția polinomială, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)



Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X



a

, schema lui Horner



Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout;

c.m.m.d.c . și

c.m.m.m.c . al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili



Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viete



Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în

,

,

,

, ecuații binome, ecuații bipătrate,

ecuații reciproce

1.

Identificarea

legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2.

Identificarea

unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare

3.

Utilizarea

algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4.

Explicarea

opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5.

Folosirea

proprietăților unei funcții continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval

6.1.

Utilizarea

proprietăților de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite și în probleme cu conținut practic

6.2.

Modelarea

comportării unei funcții prin utilizarea primitivelor sale

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ



Probleme care conduc la noțiunea de integrală

Primitive

(antiderivate)



Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții, proprietăți ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definită



Diviziuni ale unui interval



a , b



, norma unei

diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiția

integrabilității unei funcții pe un interval



a , b





Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare.



Formula Leibniz - Newton



Integrabilitatea funcțiilor continue, teorema de

medie, interpretare geometrică, teorema de existență a primitivelor unei funcții continue



Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

b

P

(

x

)

dx

,

grad Q



4

prin

metoda



Q ( x )

a

descompunerii în fracții simple

Aplicații ale integralei definite



Aria unei suprafețe plane



Volumul unui corp de rotație



Calculul unor limite de șiruri folosind integrala definită

Notă:

Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau

„regulă", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui

demonStrație eSte în afara programei.

PROGRAMA

M_șt-nat

Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

}

)

C

,

CLASA a IX-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea ,

în limbaj

cotidian sau

în

probleme de matematică, a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2.

Utilizarea

proprietăților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor și aproximărilor în contexte variate

3.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4.

Deducerea

unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5.

Redactarea

rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6.

Transpunerea

unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică



Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracționară a unui număr real; operații cu intervale de numere reale



Propoziție, predicat, cuantificatori



Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate); raționament prin reducere la absurd



Inducția matematică

1.

Recunoașterea

unor corespondențe care sunt

funcții, șiruri, progresii

2.

Utilizarea

unor modalități variate de descriere a funcțiilor în scopul caracterizării acestora

3.

Descrierea

unor șiruri/funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare și raționamentul inductiv

4.

Caracterizarea

unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăți algebrice ale acestora

5.

Analizarea

unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcții definite pe

prin raționament de tip inductiv

6.

Transpunerea

unor situații-problemă în limbaj matematic utilizând funcții definite pe

Șiruri



Modalități de a defini un șir, șiruri mărginite, șiruri monotone



Șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcție de un termen dat și rație, suma primilor

n

termeni ai unei progresii



Condiția ca

n

numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru

n



3

1.

Identificarea

valorilor unei funcții folosind

reprezentarea grafică a acesteia

2.

Caracterizarea

egalității a două funcții prin utilizarea unor modalități variate de descriere a funcțiilor

3.

Operarea

cu funcții reprezentate în diferite moduri și caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4.

Caracterizarea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora și a ecuațiilor asociate

5.

Deducerea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

6.

Analizarea

unor situații practice și descrierea lor cu ajutorul funcțiilor

Funcții; lecturi grafice



Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma

x



m

sau

y



m

, cu

m





Funcția:

definiție,

exemple,

exemple

de

corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lecturi grafice. Egalitatea a două funcții, imaginea unei mulțimi printr-o funcție, graficul unei funcții, restricții ale unei funcții



Funcții numerice

 F





f

:

D

➔

D

; reprezentarea geometrică a graficului: intersecția cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor

ecuații

și

inecuații

de

forma

f



x 



g



x 

,

(  ,

 ,

 ,

 ) ; proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăți: paritate/imparitate,

simetria graficului față de drepte de forma

x



m

,

m 

, periodicitate



Compunerea funcțiilor; exemple pe funcții numerice

1.

Recunoașterea

funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2.

Utilizarea

unor metode algebrice și grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

3.

Descrierea

unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și sistemelor de ecuații

4.

Exprimarea

legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5.

Interpretarea

graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6.

Modelarea

unor situații concrete prin utilizarea ecuațiilor și/sau a inecuațiilor, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I



Definiție;

reprezentarea

grafică

a

func ției

f

:

,

f



x 



ax



b

,

unde

a

,

b



,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O



Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonia și semnul funcției; studiul

monotoniei prin semnul diferenței

f



x 1





f



x 2



(sau

prin

studierea

semnului

raportului

f



x 1





f



x 2



,

x

,

x



,

x



x

)

x 1



x 2

1

2

1

2



Inecuații de forma

ax



b



O (  ,

 ,  ) studiate pe sau pe intervale de numere reale



Poziția relativă a două drepte, sisteme de ecuații de

tipul



ax



by



c

,

a , b , c ,

m ,

n ,

p



� mx



ny



p





Sisteme de inecuații de gradul I

1.

Diferențierea , prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2.

Completarea

unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3.

Aplicarea

unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.

Exprimarea

proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5.

Utilizarea

relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6.

Utilizarea

funcțiilor în rezolvarea unor probleme și în modelarea unor procese

Funcția de gradul al II-lea



Reprezentarea

grafică

a

funcției

f

:

,

f



x





ax

2



bx



c

, cu

a

,

b

,

c



și

a



O ,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O , simetria față de drepte de forma

x



m

,

cu

m 



Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

 x



y



S

, cu

S

,

p



�

xy



p



1.

Recunoașterea

corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2.

Determinarea

unor funcții care verifică anumite condiții precizate

3.

Utilizarea

unor algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații și pentru reprezentarea grafică a soluțiilor acestora

4.

Exprimarea

prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5.

Utilizarea

unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluțiilor ecuației asociate funcției de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea



Monotonie; studiul monotoniei prin semnul

diferenței

f



x 1





f



x 2



sau prin rata creșterii

/descreșterii:

f



x

1





f



x

2



,

x

,

x



,

x



x

,

x 1



x 2

1

2

1

2

punct de extrem, vârful parabolei



Poziționarea parabolei față de axa

Ox

, semnul

funcției, inecuații de

forma

ax

2



bx



c



O ,

(  ,

 ,

 ) ,

a ,

b ,

c



O , studiate pe

sau pe

intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecțiile unor porțiuni

➔

➔

:;

,

a

6. Interpretarea

informațiilor conținute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări și strategii de optimizare

de parabolă pe axa

Oy

)



Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma





mx



n



y

,



�

ax

2



bx



c



y



a , b , c ,

m ,

n 

1.

Identificarea

unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.

Transpunerea

unor operații cu vectori în contexte geometrice date

3.

Utilizarea

operațiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4.

Utilizarea

limbajului calculului vectorial pentru a descrie configurații geometrice

5.

Identificarea

condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6.

Aplicarea

calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan



Segment orientat, vectori, vectori coliniari



Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1.

Descrierea

sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2.

Caracterizarea

sintetică sau/și vectorială a unei configurații geometrice date

3.

Alegerea

metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurență sau paralelism

4.

Trecerea

de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) într-o configurație geometrică dată

5.

Interpretarea

coliniarității, concurenței sau paralelismului în relație cu proprietățile sintetice sau vectoriale ale unor configurații geometrice

6.

Analizarea

comparativă

a

rezolvărilor

vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism - calcul vectorial în geometria plană



Vectorul de poziție a unui punct



Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)



Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)



Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1.

Identificarea

legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice și coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2.

Calcularea

unor măsuri de unghiuri și arce utilizând relații trigonometrice

3.

Determinarea

măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4.

Caracterizarea

unor configurații geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5.

Determinarea

unor proprietăți ale funcțiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6.

Optimizarea

calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie



Cercul trigonometric, definirea funcțiilor

trigonometrice: sin :  O, 2 



➔



 1,1 

,

cos :  O, 2





➔





1,1 

, tg :  O,





\







➔

,

�

2







ctg :

 O, 



➔



Definirea funcțiilor trigonometrice:

sin :

1,1  , tg :

,

cu

D









k



k



, ctg :

, cu

�

2







D



 k 

k





Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice:

sin



a



b



,

sin



a



b



,

cos



a



b



,

cos



a



b



, sin 2

a

, cos 2 a

, sin

a



sin

b

, sin

a



sin

b

, cos

a



cos b

,

cos

a



cos b

(transformarea sumei în produs)

➔

( -

1,1 ] , cos:

➔

(

-

\

D

➔

l

\

D

➔

}

1.

Identificarea

unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2.

Aplicarea

unor metode diverse pentru determinarea unor distanțe, a unor măsuri de unghiuri și a unor arii

3.

Prelucrarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia

4.

Analizarea

unor configurații geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5.

Aplicarea

unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanțe, de măsuri de unghiuri și de arii

6.

Modelarea

unor configurații geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicații ale trigonometriei și ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană



Produsul scalar a doi vectori: definiție, proprietăți. Aplicații: teorema cosinusului, condiții de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic



Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare



Calcularea razei cercului înscris și a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

➔

+

➔

( O,

CLASA a X-a - 4 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.

Determinarea

echivalenței între forme diferite de scriere a unui număr, compararea și ordonarea numerelor reale

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule și în rezolvarea de ecuații

4.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcție de contexte în vederea optimizării calculelor

5.

Alegerea

strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.

Determinarea

unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere



Numere reale : proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale



Radical de ordin

n

(

n



și

n



2 ) dintr-un număr, proprietăți ale radicalilor



Noțiunea

de

logaritm,

proprietăți

ale

logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare



Mulțimea

. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operațiilor de adunare și de scădere a numerelor complexe și a înmulțirii acestora cu un număr real



Rezolvarea în a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali. Ecuații bipătrate

1.

Trasarea

prin puncte a graficelor unor funcții

2.

Prelucrarea

informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3.

Utilizarea

de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și rezolvarea de ecuații

4.

Exprimarea

în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5.

Interpretarea , pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6.

Utilizarea

echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice și trigonometrice

Funcții și ecuații



Funcția putere cu exponent natural:

f

:

D

,

f



x 



x n

,

n



și

n



2

și funcția radical:

f

:

D

➔

,

f



x 



n

x ,

n



și

n



2

, unde

D



 O,





pentru

n

par și

D



pentru

n

impar



Funcția exponențială:

f

:





,

f



x





a

x

,

a



 O,



 ,

a



1 și funcția logaritmică:

f

:

 O,





➔

,

f



x





log a

x

,

a



 O,



 ,

a



1



Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă



Funcții trigonometrice directe și inverse



Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

1.

Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2.

Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice

3.

Ecuații trigonometrice:

sin

x



a

, cos

x



a

,

a





 1,1 

,

tg x



a

, ctg x



a

,

a



,

sin

f



x 



sin

g



x 

, cos

f



x 



cos

g



x 

,

tg

f



x 



tg

g



x 

, ctg

f



x 



ctg

g



x 

Notă:

Pentru toate tipurile de funcții Se vor Studia: interSecția cu axele de coordonate, ecuația

f



x





O

,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică

a

proprietăților

algebrice

ale

funcțiilor:

monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate

1.

Diferențierea

problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2.

Identificarea

tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3.

Utilizarea

unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4.

Exprimarea , în moduri diferite, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.

Interpretarea

unor situații-problemă având conținut practic cu ajutorul funcțiilor și a elementelor de combinatorică

6.

Alegerea

strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare



Mulțimi finite ordonate. Numărul funcțiilor

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Permutări

-

numărul de mulțimi ordonate care se obțin prin ordonarea unei mulțimi finite cu

n

elemente

-

numărul funcțiilor bijective

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Aranjamente

-

numărul submulțimilor ordonate cu câte

k

elemente fiecare,

k



n

, care se pot forma cu cele

n

elemente ale unei mulțimi finite

-

numărul funcțiilor injective

f

:

A

➔

B

, unde

A

și

B

sunt mulțimi finite



Combinări - numărul submulțimilor cu câte

k

elemente, unde O



k



n

, ale unei mulțimi finite cu

n

elemente. Proprietăți: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu

n

elemente



Binomul lui Newton

1.

Recunoașterea

unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2.

Interpretarea

primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3.

Utilizarea

unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4.

Transpunerea

în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.

Analizarea

și

interpretarea

unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.

Corelarea

datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situații

studiate

Matematici financiare



Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA



Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice



Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie



Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă:

Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de coSt al unui produS, amortizări de inveStiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget perSonal, buget familial

.

1.

Descrierea

unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2.

Descrierea

analitică, sintetică sau vectorială a

Geometrie



Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector

relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3.

Utilizarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4.

Exprimarea

analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5.

Interpretarea

perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6.

Modelarea

unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan



Ecuații ale dreptei în plan determinate de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte



Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanțe și a unor arii

n

(

n

)

CLASA a XI-a - 3 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.

Asocierea

unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.

Aplicarea

algoritmilor de calcul cu matrice în situații practice

4.

Rezolvarea

unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5.

Stabilirea

unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.

Optimizarea

rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Matrice



Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice



Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți



Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare



Matrice inversabile din

,



2,3



Ecuații matriceale



Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar



Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare



Aplicații: ecuația unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1.

Caracterizarea

unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.

Interpretarea

unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme

4.

Exprimarea

cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și/sau calitative ale unei funcții

5.

Utilizarea

reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți

6.

Determinarea

unor optimuri situaționale prin aplicarea calculului diferențial în probleme practice

Elemente de analiză matematică Limite de funcții



Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile



și





Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale



Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere (

n



2,3 ), funcția

radical (

n



2,3 ), funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul

limitelor de funcții:

O

,



, O 



O





Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice

Funcții continue



Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului

de

definiție,

funcții

continue,

interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue



Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale

Funcții derivabile



Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile



Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și al II-lea pentru funcțiile studiate



Regulile lui l Hospital pentru cazurile

O

,



O



Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor



Rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate



Reprezentarea grafică a funcțiilor

Notă:

-

Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui .", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

n

p

p

CLASA a XII-a - 3 ore/săpt.

Competențe specifice

Conținuturi

1. Recunoașterea

structurilor algebrice, a mulțimilor de numere, de polinoame și de matrice

2.1.

Identificarea

unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

2.2.

Determinarea

și verificarea proprietăților unei structuri

3.1.

Verificarea

faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2.

Aplicarea

unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice

4. Explicarea

modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietățile operațiilor unei structuri algebrice

5.1.

Utilizarea

structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

5.2.

Determinarea

unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date

6.1.

Exprimarea

unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

6.2.

Aplicarea , prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri



Lege de compoziție internă, tabla operației



Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo

n



Morfism și izomorfism de grupuri

Inele și corpuri



Inel, exemple: inele numerice ( , , ,

),

, inele de matrice, inele de funcții reale



Corp, exemple: corpuri numerice (

,

,

),

,

p

prim

Inele de polinoame cu coeficienți într-un corp comutativ (

,

,

,

,

p

prim )



Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)



Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X



a

, schema lui Horner



Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout;

c.m.m.d.c . și

c.m.m.m.c.

al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili



Rădăcini ale polinoamelor, relațiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 4



Rezolvarea ecuațiilor algebrice având coeficienți în , , , , ecuații binome, ecuații bipătrate, ecuații reciproce

1.

Identificarea

legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2.

Stabilirea

unor proprietăți ale calculului integral, prin analogie cu proprietăți ale calculului diferențial

3.

Utilizarea

algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4.

Explicarea

opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5.

Determinarea

ariei unei suprafețe plane și a volumului unui corp, folosind calculul integral și compararea rezultatelor cu cele obținute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6.

Aplicarea

calculului diferențial sau integral în probleme practice

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ



Probleme care conduc la noțiunea de integrală

Primitive

(antiderivate)



Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

Integrala definită



Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton



Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare



Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă.

Calculul

integralelor

de

forma

b

P

(

x

)

dx

, grad Q



4 prin metoda descompunerii



Q ( x )

a

în fracții simple

Aplicații ale integralei definite



Aria unei suprafețe plane



Volumului unui corp de rotație

Notă:

Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau „regulă" pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat

matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

PROGRAMA

M_tehnologic

Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale, profilul resurse naturale și protecția mediului, toate calificările profesionale, profilul tehnic, toate calificările profesionale

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

CLASA a IX-a - 3 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

în limbaj cotidian sau în probleme de matematică a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor

2.

Reprezentarea

adecvată a mulțimilor și a operațiilor logice în scopul identificării unor proprietăți ale acestora

3.

Alegerea

și

utilizarea

de algoritmi pentru efectuarea unor operații cu numere reale, cu mulțimi, cu propoziții/predicate

4.

Deducerea

unor rezultate și verificarea acestora utilizând inducția matematică sau alte raționamente logice

5.

Redactarea

rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor

6.

Transpunerea

unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și

interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică



Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale



Propoziție, predicat, cuantificatori



Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune, incluziune, egalitate)



Inducția matematică

1.

Recunoașterea

unor corespondențe care sunt șiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2.

Calcularea

valorilor unor șiruri care modelează situații practice în scopul caracterizării acestora

3.

Alegerea

și

utilizarea

unor modalități adecvate de calculare a elementelor unui șir

4.

Interpretarea

grafică a unor relații provenite din probleme practice

5.

Analizarea

datelor în vederea aplicării unor formule de recurență sau a raționamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor

6.

Analizarea

și

adaptarea

scrierii termenilor unui șir în funcție de context

Șiruri



Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor

n

termeni ai unei progresii



Condiția ca

n

numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru

n



3

1.

Identificarea

valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.

Determinarea

soluțiilor unor ecuații, inecuații utilizând reprezentările grafice

3.

Alegerea

și

utilizarea

unei modalități adecvate de reprezentare grafică în vederea evidențierii unor proprietăți ale funcțiilor

4.

Exprimarea

monotoniei unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5.

Reprezentarea

geometrică a graficului unei funcții prin puncte și aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6.

Deducerea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

Funcții; lecturi grafice



Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma

x



m

sau de forma

y



m

,

m





Funcția:

definiție,

exemple,

exemple

de

corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții



Funcții numerice

f

:

/

➔

,

/

interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu

axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuații de forma

f



x 



g



x 

; proprietăți ale

funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa

Oy

sau origine),

periodicitate



Compunerea funcțiilor; exemple de funcții numerice

1.

Recunoașterea

funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2.

Utilizarea

unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

3.

Descrierea

unor proprietăți desprinse din reprezentarea grafică a funcției de gradul I sau din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

4.

Exprimarea

legăturii între funcția de gradul I și reprezentarea ei geometrică

5.

Interpretarea

graficului funcției de gradul I utilizând proprietățile algebrice ale funcției

6.

Rezolvarea

cu ajutorul funcțiilor a unei

situații-problemă și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I



Definiție;

reprezentarea

grafică

a

func ți ei

f

:

,

f



x





ax



b

,

unde

a

,

b



,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O



Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției



Inecuații de forma

ax



b



O (  ,

 ,  )

,

a , b



, studiate pe



Poziția relativă a două drepte, sisteme de tipul



ax



by



c

,

a , b , c ,

m ,

n ,

p

numere reale

 mx



ny



p



1.

Diferențierea , prin exemple, a variației liniare de cea pătratică

2.

Completarea

unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea

3.

Aplicarea

unor algoritmi pentru trasarea graficului funcției de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4.

Exprimarea

proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5.

Utilizarea

relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor ecuației de gradul al II- lea și pentru rezolvarea unor sisteme de ecuații

6.

Identificarea

unor metode grafice de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații

Funcția de gradul al II-lea



Reprezentarea

grafică

a

funcției

f

:

,

f



x 



ax 2



bx



c

cu

a , b , c



și

a



O ,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O , simetria față de drepte de forma

x



m

cu

m 



Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

 x



y



S

, cu

S

,

p





xy



p



1.

Recunoașterea

corespondenței dintre seturi de date și reprezentări grafice

2.

Reprezentarea

grafică a unor date diverse în vederea comparării variației lor

3.

Aplicarea

formulelor de calcul și a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuații, inecuații și sisteme de ecuații

4.

Exprimarea

prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5.

Determinarea

unor relații între condiții algebrice date și graficul funcției de gradul al II-lea

6.

Utilizarea

monotoniei și a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme

practice

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea



Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică



Poziționarea parabolei față de axa

Ox

, semnul

funcției, inecuații de forma

ax

2



bx



c



O (  ,  ,

 ) ,

a , b , c



,

a



O , interpretare geometrică



Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma





mx



n



y

,





ax

2



bx



c



y



cu

a , b , c ,

m ,

n



, interpretare geometrică

1.

Identificarea

unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.

Aplicarea

regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configurații date

3.

Utilizarea

operațiilor cu vectori pentru a

Vectori în plan



Segment orientat, vectori, vectori coliniari



Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare; înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale

➔

➔

descrie configurații geometrice date

4.

Utilizarea

limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configurații geometrice

5.

Identificarea

condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice cerințe date

6.

Aplicarea

calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe

înmulțirii cu un scalar; condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori

1.

Identificarea

elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri

2.

Utilizarea

unor tabele și formule pentru calcule în trigonometrie și în geometrie

3.

Determinarea

măsurii unor unghiuri și a lungimii unor segmente utilizând relații metrice

4.

Transpunerea

într-un limbaj specific trigonometriei și geometriei a unor probleme practice

5.

Utilizarea

unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

6.

Analizarea

și

interpretarea

rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice

Trigonometrie și aplicații ale trigonometriei în geometrie



Rezolvarea triunghiului dreptunghic



Cercul trigonometric, definirea funcțiilor

trigonometrice: sin :  O, 2 



➔



 1,1 

,

cos :  O, 2





➔





1,1 

, tg :  O,





\







➔

,



2







ctg :

 O, 



➔



Definirea funcțiilor trigonometrice:

sin :

1,1  ,

tg :

, cu

D









k



k



,



2







ctg :

, cu

D



 k 

k





Reducerea la primul cadran; formule

trigonometrice:

sin

 a



b 

,

sin

 a



b 

, cos

 a



b 

, cos

 a



b 

,

sin 2

a

,

cos 2

a

,



Modalități de calcul a lungimii unui segment și a

măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului

➔

( -

1,1 ] , cos:

➔

(

-

\

D

➔

l

\

D

➔

}

➔

CLASA a X-a - 3ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2.

Compararea

și

ordonarea

numerelor reale utilizând metode variate

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi în contexte variate

4.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor

5.

Alegerea

strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.

Determinarea

unor analogii între proprietățile operațiilor cu numere reale scrise în forme variate și utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuații

Mulțimi de numere



Numere reale : proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul



Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică



Radical unui număr (de ordin sau de ordin 3), proprietăți ale radicalilor



Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare



Mulțimea

. Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operații cu numere complexe. Rezolvarea în

a ecuației de gradul al doilea având coeficienți reali

1.

Trasarea

prin puncte a graficelor unor funcții

2.

Prelucrarea

informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3.

Utilizarea

de proprietăți ale funcțiilor în trasarea graficelor și în rezolvarea de ecuații

Funcții și ecuații



Funcția putere:

f

:

,

f



x 



x n

,

n



,

n



2 și

funcția

radical:

f

:

D

➔

,

f



x 



n

x

,

n



2,3 , unde

D



 O,





pentru

n

par și

4.

Exprimarea

în limbaj matematic a unor situații concrete și reprezentarea prin grafice a unor funcții care descriu situații practice

5.

Interpretarea , pe baza lecturii grafice, a proprietăților algebrice ale funcțiilor

6.

Utilizarea

echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații algebrice

Notă:

Pentru toate tipurile de funcții Se vor Studia: interSecția cu axele de coordonate, ecuația

f



x 



O

,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate.

D



pentru

n

impar



Funcția

exponențială

f

:





,

f



x 



a x

,

a





O,





,

a



1 și

funcția

logaritmică

f

:

 O,





➔

,

f



x 



log

a

x

,

a





O,





,

a



1



Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcții inversabile: definiție, proprietăți grafice, condiția necesară și suficientă ca o funcție să fie inversabilă



Funcții trigonometrice directe și inverse



Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

-

Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

-

Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea de ecuații algebrice

1.

Diferențierea

problemelor în funcție de numărul de soluții admise

2.

Identificarea

tipului de formulă de numărare adecvată unei situații-problemă date

3.

Utilizarea

unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv

4.

Exprimarea

caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5.

Interpretarea

unor situații-problemă având conținut practic, cu ajutorul elementelor de combinatorică

6.

Alegerea

strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare



Mulțimi finite: permutări, aranjamente, combinări, numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu

n

elemente

1.

Recunoașterea

unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2.

Interpretarea

primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor și a diagramelor

3.

Utilizarea

unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabailităților pentru analiza de caz

4.

Transpunerea

în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice

5.

Analizarea

și

interpretarea

unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.

Corelarea

datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare



Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA



Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice



Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice



Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă:

Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, preț de coSt al unui produS, amortizări de inveStiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget perSonal, buget familial.

1.

Descrierea

unor configurații geometrice analitic

sau utilizând vectori

2.

Descrierea

analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism

3.

Utilizarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4.

Exprimarea

analitică, sintetică sau vectorială a

Geometrie



Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan



Ecuații ale dreptei în plan determinate de un

+

➔

( O,

caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5.

Interpretarea

perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6.

Modelarea

unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

punct și de o direcție dată și ale dreptei determinate de două puncte distincte



Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte în plan; linii importante în triunghi, calcularea unor distanțe

și a unor arii

n

(

n

)

CLASA a XI-a - 3 ore/săpt. (TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2.

Asocierea

unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.

Aplicarea

algoritmilor de calcul cu matrice în situații practice

4.

Rezolvarea

unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5.

Stabilirea

unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6.

Optimizarea

rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ȘI SISTEME DE ECUAȚII LINIARE

Matrice



Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice



Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți



Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare



Matrice inversabile din

,



2,3



Ecuații matriceale



Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar



Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare



Aplicații: ecuația unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi și coliniaritatea a trei puncte în plan

1.

Caracterizarea

unor funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2.

Interpretarea

unor proprietăți ale funcțiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme

4.

Exprimarea

cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și calitative ale unei funcții

5.

Utilizarea

reprezentării grafice a unei funcții pentru verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți

6.

Determinarea

unor optimuri situaționale prin aplicarea calculului diferențial în probleme practice

Notă:

Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui ." pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcții



Noțiuni elementare despre mulțimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăți, dreapta încheiată, simbolurile



și





Limite de funcții: interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct utilizând vecinătăți, limite laterale



Calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, funcția logaritmică, exponențială, funcția putere (

n



2,3 ), funcția

radical (

n



2,3 ), funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul

limitelor de funcții:

O

,



, O 

O





Asimptotele graficului funcțiilor studiate: asimptote verticale, orizontale și oblice

Funcții continue



Continuitatea unei funcții într-un punct al domeniului de definiție, funcții continue, interpretarea grafică a continuității unei funcții, operații cu funcții continue



Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcții continue pe un interval de numere reale

Funcții derivabile



Tangenta la o curbă. Derivata unei funcții într-un punct, funcții derivabile



Operații cu funcții derivabile, calculul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea pentru funcțiile studiate



Regulile lui l Hospital pentru cazurile

O

,



O



Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor



Rolul derivatei de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate



Reprezentarea grafică a funcțiilor

n

p

p

CLASA a XII-a - 3 ore/săpt.

(TC+CD)

Competențe specifice

Conținuturi

1. Recunoașterea

structurilor algebrice, a mulțimilor de numere, de polinoame și de matrice

2.1.

Identificarea

unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

2.2.

Determinarea

și verificarea proprietăților unei structuri algebrice

3.1.

Verificarea

faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism

3.2.

Aplicarea

unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice

4. Explicarea

modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietățile operațiilor unei structuri algebrice

5.1.

Utilizarea

structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme practice

5.2.

Determinarea

unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date

6.1.

Exprimarea

unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

6.2.

Aplicarea , prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica

numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri



Lege de compoziție internă, tabla operației



Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo

n



Morfism și izomorfism de grupuri

Inele si corpuri



Inel, exemple: inele numerice ( ,

,

,

),



Corp, exemple: corpuri numerice (

,

,

),

,

p

prim

Inele de polinoame cu coeficienți intr-un corp comutativ (

,

,

,

,

p

prim )



Forma algebrică a unui polinom, operații (adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu un scalar)



Teorema împărțirii cu rest; împărțirea polinoamelor, împărțirea cu X



a

, schema lui Horner



Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout



Rădăcini ale polinoamelor; relațiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 3

1.

Identificarea

legăturilor dintre o funcție continuă și derivata sau primitiva acesteia

2.

Stabilirea

unor proprietăți ale calculului integral, prin analogie cu proprietăți ale calculului diferențial

3.

Utilizarea

algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4.

Explicarea

opțiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluțiilor

5.

Determinarea

ariei unei suprafețe plane și a volumului unui corp, folosind calculul integral și compararea rezultatelor cu cele obținute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6.

Aplicarea

calculului diferențial sau integral în probleme practic

Notă:

Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau

„regulă" pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicații, dar a cărui demonStrație eSte în afara programei .

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive

(antiderivate)



Primitivele unei funcții definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcții continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

Integrala definită



Definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz - Newton



Proprietăți ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare



Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

b

P

(

x

)

dx

, grad Q



2



Q ( x )

a

Aplicații ale integralei definite



Aria unei suprafețe plane



Volumului unui corp de rotație

PROGRAMA

M_pedagogic

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

COMPETENȚE DE EVALUAT ȘI CONȚINUTURI

CLASA a IX-a - 2 ore/săpt. (TC)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

în limbaj cotidian sau în probleme a unor noțiuni specifice logicii matematice și/sau a teoriei mulțimilor

2.

Transcrierea

unui enunț în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulțimilor

3.

Utilizarea

reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operații

4.

Explicitarea

caracteristicilor unor mulțimi folosind limbajul logicii matematice

5.

Redactarea

rezolvării unor probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice și/sau al teoriei mulțimilor

6.

Transpunerea

unei situații cotidiene în limbaj

matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului

Mulțimi și elemente de logică matematică



Mulțimea numerelor reale: operații algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operații cu intervale de numere reale



Propoziție, predicat, cuantificatori



Operații logice elementare (negație, conjuncție, disjuncție, implicație, echivalență), corelate cu operațiile și cu relațiile dintre mulțimi (complementară, intersecție, reuniune,

incluziune, egalitate)

1.

Recunoașterea

unor corespondențe care sunt șiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2.

Reprezentarea

în diverse moduri a unor corespondențe, șiruri în scopul caracterizării acestora

3.

Identificarea

unor formule de recurență pe bază de raționamente de tip inductiv

4.

Exprimarea

caracteristicilor unor șiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame, grafice)

5.

Deducerea

unor proprietăți ale șirurilor folosind diferite reprezentări sau raționamente de tip inductiv

6.

Asocierea

unei situații-problemă cu un model matematic de tip șir, progresie aritmetică sau

geometrică

Șiruri



Modalități de a descrie un șir; șiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor

n

termeni ai unei progresii

1.

Identificarea

valorilor unei funcții folosind reprezentarea grafică a acesteia

2.

Identificarea

unor puncte semnificative de pe graficul unei funcții

3.

Folosirea

unor proprietăți ale funcțiilor pentru completarea graficului unei funcții pare, impare sau periodice

4.

Exprimarea

proprietăților unor funcții pe baza lecturii grafice

5.

Reprezentarea

graficului prin puncte și aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6.

Deducerea

unor proprietăți ale funcțiilor numerice prin lectură grafică

Funcții; lecturi grafice



Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulțimi numerice; condiții algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma

x



m

sau de forma

y



m ,

m





Funcția:

definiție,

exemple,

exemple

de

corespondențe care nu sunt funcții, modalități de a descrie o funcție, lectură grafică; egalitatea a două funcții, imaginea unei funcții, graficul unei funcții



Funcții numerice

f

:

/

➔

,

/

interval de numere reale; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului, intersecția graficului cu

axele de coordonate, interpretarea grafică a unor

ecuații de forma

f



x 



g



x 

; proprietăți ale funcțiilor numerice introduse prin lectură grafică:

mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului față de axa

Oy

sau față de

origine), periodicitate

1.

Recunoașterea

funcției de gradul I descrisă în moduri diferite

2.

Identificarea

unor metode grafice pentru rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații

3.

Descrierea

unor proprietăți desprinse din rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor, sistemelor de ecuații și din reprezentarea grafică a funcției de gradul I

4.

Exprimarea

în limbaj matematic a unor situații concrete ce se pot descrie prin funcții de gradul I, ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații

5.

Interpretarea

cu ajutorul proporționalității a condițiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcții de gradul I

6.

Rezolvarea

cu ajutorul funcțiilor a unei situații-problemă și interpretarea rezultatului

Funcția de gradul I



Definiție;

reprezentarea

grafică

a

func ției

f

:

,

f



x





ax



b

,

unde

a

,

b



,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O



Interpretarea grafică a proprietăților algebrice ale funcției: monotonie, semnul funcției



Inecuații de forma

ax



b



O,(  ,

 ,  ),

a ,

b



studiate pe



Poziția relativă a două drepte; sisteme de tipul



ax



by



c

,

a , b , c ,

m ,

n ,

p



 mx



ny



p



1.

Diferențierea

variației liniare/pătratice prin exemple

2.

Completarea

unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3.

Aplicarea

unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4.

Exprimarea

proprietăților unei funcții prin condiții algebrice sau geometrice

5.

Utilizarea

relațiilor lui Viete pentru caracterizarea soluțiilor și rezolvarea unor sisteme

6.

Identificarea

unor metode grafice de rezolvare a ecuațiilor sau a sistemelor de ecuații

Funcția de gradul al II-lea



Reprezentarea

grafică

a

funcției

f

:

,

f



x





ax

2



bx



c

,

a

,

b

,

c



,

a



O ,

intersecția graficului cu axele de coordonate,

ecuația

f



x 



O , simetria față de drepte de

forma

x



m

, cu

m





Relațiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

 x



y



S

, cu

S

,

p





xy



p



1.

Recunoașterea

corespondenței dintre seturi de

date și reprezentări grafice

2.

Reprezentarea

grafică a unor date diverse în vederea comparării variației lor

3.

Utilizarea

lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuații, inecuații și sisteme de ecuații

4.

Exprimarea

prin reprezentări grafice a unor condiții algebrice; exprimarea prin condiții algebrice a unor reprezentări grafice

5.

Interpretarea

unei configurații din perspectiva poziției relative a unei drepte față de o parabolă

6.

Utilizarea

lecturilor grafice în vederea optimizării rezolvării unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăților algebrice ale funcției de gradul al II-lea



Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică



Poziționarea parabolei față de axa

Ox

, semnul

funcției, inecuații de forma

ax

2



bx



c



O (  ,  ,

 ) , cu

a , b , c



,

a



O , interpretare geometrică



Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma





mx



n



y

,





ax

2



bx



c



y



a , b , c ,

m ,

n 

, interpretare geometrică

1.

Identificarea

unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2.

Utilizarea

rețelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configurații date

3.

Efectuarea

de operații cu vectori pe configurații geometrice date

4.

Utilizarea

limbajului

calculului

vectorial

pentru a descrie anumite configurații geometrice

Vectori în plan



Segment orientat, vectori, vectori coliniari



Operații cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăți ale operației de adunare, înmulțirea cu un scalar, proprietăți ale înmulțirii cu un scalar, condiția de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

➔

➔

5.

Identificarea

condițiilor necesare pentru efectuarea operațiilor cu vectori

6.

Aplicarea

calculului vectorial în descrierea proprietăților unor configurații geometrice date

1.

Descrierea

sintetică sau vectorială a proprietăților unor configurații geometrice în plan

2.

Reprezentarea

prin intermediul vectorilor a unei configurații geometrice plane date

3.

Utilizarea

calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică

4.

Trecerea

de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (și invers) a unei configurații geometrice date

5.

Determinarea

condițiilor necesare pentru coliniaritate, concurență sau paralelism

6.

Analizarea

comparativă a rezolvărilor vectorială și sintetică ale aceleiași probleme

Coliniaritate, concurență, paralelism calcul vectorial în geometria plană



Vectorul de poziție a unui punct



Vectorul de poziție a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiții de paralelism)



Vectorul de poziție a centrului de greutate al unui triunghi (concurența medianelor unui triunghi)

1.

Identificarea

elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri

2.

Utilizarea

unor tabele și a unor formule pentru calcule în trigonometrie și în geometrie

3.

Aplicarea

teoremelor și a formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)

4.

Transpunerea

într-un limbaj specific trigonometriei și/sau geometriei a unor probleme practice

5.

Utilizarea

unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare

6.

Analizarea

și

interpretarea

rezultatelor

obținute prin rezolvarea unor probleme practice

Aplicații ale trigonometriei în geometrie



Rezolvarea triunghiului dreptunghic



Formulele (fără demonstrație):

cos  18O 

x





 cos

x

; sin

 18O 

x





sin

x



Modalități de calcul a lungimii unui segment și a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor și teorema cosinusului

➔

CLASA a X-a - 2ore/săpt. (TC)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră și a formei de scriere a unui număr real în contexte variate

2.

Compararea

și

ordonarea

numerelor reale utilizând metode variate

3.

Aplicarea

unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali și logaritmi în contexte variate

4.

Alegerea

formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor

5.

Alegerea

strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6.

Analizarea

validității unor afirmații prin utilizarea aproximărilor, a proprietăților sau a

regulilor de calcul

Numere reale



Numere reale: proprietăți ale puterilor cu exponent rațional, irațional și real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raționale pentru numere reale



Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), proprietăți ale radicalilor



Noțiunea de logaritm, proprietăți ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operația de logaritmare

1.

Exprimarea

relațiilor de tip funcțional în diverse moduri

2.

Prelucrarea

informațiilor ilustrate prin graficul unei funcții în scopul deducerii unor proprietăți algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, convexitate)

3.

Utilizarea

de proprietăți ale funcțiilor în calcule

și aproximări, prin metode diverse

Funcții și ecuații



Funcția putere:

f

:

D

,

f



x 



x n

,

n



,

n



2 și

funcția

radical:

f

:

D

➔

,

f



x 



n

x

,

n



2,3 , unde

D





O,





pentru

n

par și

D



pentru

n

impar

4.

Exprimarea

în limbaj matematic a unor situații concrete ce se pot descrie printr-o funcție de o variabilă

5.

Interpretarea

unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului

6.

Utilizarea

echivalenței dintre bijectivitate și inversabilitate în trasarea unor grafice și în rezolvarea unor ecuații

Notă:

Pentru toate tipurile de funcții Se vor Studia: interSecția cu axele de coordonate, ecuația

f



x 



O

,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăților algebrice ale funcțiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate



Funcția

exponențială

f

:





,

f



x 



a x

,

a





O,





,

a



1 și

funcția

logaritmică

f

:

 O,





➔

,

f



x 



log

a

x

,

a





O,







Rezolvări de ecuații folosind proprietățile funcțiilor:

-

Ecuații care conțin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

-

Ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea unor ecuații algebrice

1.

Recunoașterea

unor date de tip probabilistic sau statistic în situații concrete

2.

Interpretarea

primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor și al diagramelor

3.

Utilizarea

unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităților pentru analiza de caz

4.

Transpunerea

în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5.

Analizarea

și

interpretarea

unor situații practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6.

Corelarea

datelor statistice sau probabilistice în scopul predicției comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situații studiate

Matematici financiare



Probleme de numărare: permutări, aranjamente, combinări



Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA



Culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice



Evenimente aleatoare egal probabile, operații cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă:

Aplicațiile vor fi din domeniul financiar: profit, calcularea prețului de coSt al unui produS, amortizări de inveStiții, tipuri de credite, metode de finanțare, buget perSonal, buget familial.

1.

Descrierea

unor configurații geometrice analitic sau utilizând vectori

2.

Descrierea

analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și de perpendicularitate

3.

Utilizarea

informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți ale acesteia și calcularea unor distanțe și a unor arii

4.

Exprimarea

analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configurații geometrice

5.

Interpretarea

perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței

6.

Modelarea

unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie



Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector și un număr real coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanța dintre două puncte în plan



Ecuații ale dreptei în plan determinată de un punct și de o direcție dată și ale dreptei determinată de două puncte distincte date



Condiții de paralelism, condiții de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanțe și a unor arii

+

➔

( O,

n

CLASA a XI-a -1 oră/săpt. (TC)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Recunoașterea

și diferențierea mulțimilor de numere și a structurilor algebrice

2.

Identificarea

unei structuri algebrice prin verificarea proprietăților acesteia

3.

Compararea

proprietăților algebrice sau aritmetice ale operațiilor definite pe diverse mulțimi în scopul identificării unor algoritmi

4.

Exprimarea

proprietăților mulțimilor înzestrate cu

operații

prin

identificarea

organizării

Structuri algebrice



Legi de compoziție, proprietăți



Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulțimile

,

,

,

,

structurale a acestora

5. Utilizarea

similarității operațiilor definite pe

mulțimi diferite în deducerea unor proprietăți algebrice

n

(

n

)

CLASA a XII-a - 1 oră/săpt.

(TC)

Competențe specifice

Conținuturi

1.

Identificarea

unor situații practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matriceală

2.

Asocierea

unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3.

Aplicarea , în situații practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4.

Rezolvarea

unor sisteme, utilizând metode diferite de rezolvare și compararea acestor metode

5.

Stabilirea

compatibilității unor sisteme liniare și identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

Elemente de calcul matriceal și sisteme de ecuații liniare

Matrice



Tabel de tip matriceal. Matrice, mulțimi de matrice



Operații cu matrice: adunarea, înmulțirea, înmulțirea unei matrice cu un scalar, proprietăți

Determinanți



Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăți

Sisteme de ecuații liniare



Matrice

inversabile

din

,



2,3 . Ecuații matriceale



Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar



Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare



Aplicații: ecuația unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi și caracterizarea coliniarității a trei puncte în plan

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE

ORDIN

privind organizarea și desfășurarea evaluării naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a în anul școlar 2014—2015*)

În baza prevederilor art. 94 alin. (2) lit. e) și ale art. 361 din Legea educației naționale nr. 1/2011, cu modificările și completările ulterioare, și ale Ordinului ministrului educației, cercetării, tineretului și sportului nr. 3.753/2011 privind aprobarea unor măsuri tranzitorii în sistemul național de învățământ, cu modificările ulterioare,

în temeiul prevederilor art. 5 din Hotărârea Guvernului nr. 185/2013 privind organizarea și funcționarea Ministerului Educației Naționale, cu modificările și completările ulterioare,

ministrul educației naționale

emite prezentul ordin.